Leggi di moto

Le leggi di moto sono rappresentate nella forma y = f(q) , dove

Per calcolare i punti del profilo primitivo di un tratto di camma, con una rotazione da β₀ a β₁ e alzata totale H, si procede in questo modo:

1.      Per ogni angolo b si calcola l’angolo adimensionale q

q = (b - b₀) / (b₁ - b₀)

2.      Noto q, si calcola l’alzata adimensionale y = f(q) con la formula della legge di moto (es. cicloide)

y = 1 / p  (p q - 0.5  sin (2   p   q))

3.      Infine si calcola l’alzata effettiva h

            h = H  y

Curve polinomiali semplici

Velocità costante

y = q

y’ = 1

y” = 0

Accelerazione costante

per q < 0.5

 y = 2 q ²

 y’ = 4 q

 y” = 4

per q ³ 0.5

 y = 1 – 2  (1 - q) ²

 y’ = 4  (1 - q)

 y” = -4

Parabola in salita (quadratic spline)

y = q ²

y’ = 2  q

y” = 2

Parabola in discesa (quadratic spline)

y = 1 – (1 - q) ²

y’ = 2  (1 - q)

y” = -2

Curve trigonometriche di base

Cicloide (cycloidal, sine-squared velocity)
 

y = 1 / p  (pq - ½  sin (2   p   q))

y’ = (1 - cos (2   p   q))

y” = 2  p · sin (2    p   q)

Armonica (simple harmonic)

y = ½ (1 - cos (p   q))

y’ = ½  p  sin (p   q)

y” = ½  p ²  cos (p   q)

Ellittica (0<a<1)

a = rapporto fra gli assi dell'ellisse

y = ½  (1 - (cos (p  q)) / (Ö(1 - (a ² - 1) / a ²  (sin (p  q)) ²)))

y’ = 0.5  p  a  sin (q  p) / ((1 - a ²)  sin (q  p) ² + a ²) ^{1 . 5}

y” = 0.5  p ²  a  cos (q  p)  (2  (a ² - 1)  sin (q  p) 2 + a ²) / ((1 - a ²)  sin (q  p) 2 + a ²) ^{2 . 5}

Curve trigonometriche

Doppia cicloide

per q < a

 y = 2  a  1 / p  (p  q / 2 / a - 0.5  sin (2  p  q / 2 / a))

 y’ = (1 - cos (p  q / a))

 y” = 1 / a  p  sin (p  q / a)

per q ³ a

 y = - (1 - 2  a)  1 + 2  (1 - a)  1 / p  (p  ((q - a) / 2 / (1 - a) + ½) - ½  sin (2  p  ((q - a) / 2 / (1 - a) + ½)))

 y’ = (1 - cos (2  p  ((q - a) / 2 / (1 - a) + ½)))

 y” = 1 / (1 - a)  p  sin (2  p * ((q - a) / 2 / (1 - a) + ½))

Cicloide + Armonica

per q < a

 y = 2   a   1 / p   (p   q / 2 / a - ½  sin (2  p  q / 2 / a))

 y¢ = (1 - cos (p  q / a)) '

 y² = 1 / a  p  sin (p  q / a)

per q ³ a

 y = - (1 - 2  a)  1 + 2  (1 - a)  1 / p  (p  ((q - a) / 2 / (1 - a) + ½) - ½ sin (2  p  ((q - a) / 2 / (1 - a) + ½)))

 y’ = (1 - cos (2  p  ((q - a) / 2 / (1 - a) + ½)))

 y” = 1 / (1 - a)  p  sin (2  p  ((q - a) / 2 / (1 - a) + ½))

Biarmonica

y = ½  ((1 - cos (p  q)) - 1 / 4  (1 - cos (2  p  q)))

y’ = ½  (p  sin (p  q) - ½  p  sin (2  p  q))

y” = ½  (p ²  cos (p  q) - p ²  cos (2  p  q))

Biarmonica inversa

y = ½  ((1 - cos (p  q)) + 1 / 4  (1 - cos (2  p  q)))

y’ = ½  (p  sin (p  q) + ½  p  sin (2  p  q))

y” = ½  (p ²  cos (p  q) + p ²  cos (2  p  q))

Curve trigonometriche modificate

Trapezoidale generalizzata a 7 tratti

Accelerazione della legge trapezoidale a 7 tratti

q ₀ = 0

q ₁ = d₁

q ₂ = q ₁ + d₂

q ₃ = q ₂ + d₃

q ₄ = q ₃ + d₄

q ₅ = q ₄ + d₅

q ₆ = q ₅ + d₆

q ₇ = 1

coefficienti necessari al calcolo

a₁₁ = 2  d₁ / p + d₂ + 2  d₃ / p

a₁₂ = -2  d₅ / p - d₆ - 2  d₇ / p

a₂₁ = 2  d₁ / p  ((p - 2) / p  d₁ + d₂ / 2) + (2  d₁ / p + d₂)  (d₂ / 2 + (p - 2) / p  d₃) + (2  d₁ / p + d₂ + 2  d₃ / p)  (2  d₃ / p + d₄ + 2  d₅ / p)

a₂₂ = (2  d₇ / p + d₆)  ((p - 2) / p  d₅ + d₆ / 2) + 2  d₇ / p  (d₆ / 2 + (p - 2) / p  d₇)

A = -a₁₂ / (a₁₁  a₂₂ - a₁₂  a₂₁)

B = a₁₁ / (a₁₁  a₂₂ - a₁₂  a₂₁)

velocità nei 6 punti notevoli

V₁ = 2  d₁ / p  A

V₂ = a  d₂ + V₁

V₃ = 2 / p  d₃  A + V₂

V₄ = V₃

V₅ = V₄ - B  2  d₅ / p

V₆ = V₅ - B  d₆

alzate nei 6 punti notevoli

S₁ = 2  (d₁²) / p  A - (2  d₁ / p)²  A

S₂ = A / 2  d₂² + V₁  d₂ + S₁

S₃ = (2 / p  d₃)²  A + V2  d3 + S2

S₄ = S₃ + A  d₄  (2  d₁ / p + d₂ + 2  d₃ / p)

S₅ = S₄ + A  d₅  (2  d₁ / p + d₂ + 2  d₃ / p) - B  2  d₅² / p  (1 - 2 / p)

S₆ = S₅ + V₅  d₆ - B  d₆² / 2

tratto I: 0 £ q £ q₁

y = 2  d₁ / p  A  (q - 2  d₁ / p  sin (p  q / 2 / d₁))

y’ = 2  d₁ / p  A  (1 - cos (p  q / (2  d₁)))

y” = A  sin (p  q / (2  d₁))

tratto II: q₁ £ q £ q₂

y = A / 2  (q - q₁)² + V₁  (q - q₁) + S₁

y’ = A  (q - q₁) + V₁

y” = A

tratto III: q₂ £ q £ q₃

y = (((2 / p  d₃)²)  (A  (1 - cos (p  (q - q₂) / 2 / d₃))) + V₂  (q - q₂) + S₂)

y’ = (2 / p  d₃  A  sin (p  (q - q₂) / 2 / d₃) + V₂)

y” = (A  cos (p  (q - q₂) / 2 / d₃))

tratto IV: q₃ £ q £ q₄

y = V₃  (q - q₃) + S₃

y’ = V₃

y” = 0

tratto V: q₄ £ q £ q₅

y = -B  2 / p  d₅  (q - q₄ - 2 / p  d₅  sin (p  (q - q₄) / 2 / d₅)) + V₄  (q - q₄) + S₄

y’ = -B  2 / p  d₅  (1 - cos (p  (q - q₄) / 2 / d₅)) + V₄

y” = -B  sin (p  (q - q₄) / 2 / d₅)

tratto VI: q₅ £ q £ q₆

y = (S₅ + V₅  (q - q₅) - B  (q - q₅)² / 2)

y’ = (V₅ - B  (q - q₅))

y” = (-B)

tratto VII: q₆ £ q £ 1

y = (((2 / p  d₇)²)  B  (cos (p  (q - q₆) / 2 / d₇) - 1) + V₆  (q - q₆) + S₆)

y’ = (V₆ - B  2 / p  d₇  sin (p  (q - q₆) / 2 / d₇))

y” = (-B  cos (p  (q - q₆) / 2 / d₇))

Casi particolari della Trapezoidale generalizzata a 7 tratti

Trapezoidale modificata

q ₀ = 0

q ₁ = 1 / 8

q ₂ = 3 / 8

q ₃ = 0.5

q ₄ = q₃

q ₅ = 1 - q₂

q ₆ = 1 - q₁

q ₇ = 1

Sinusoidale modificata

q ₀ = 0

q ₁ = 1 / 8

q ₂ = q ₁

q ₃ = 0.5

q ₄ = q₃

q ₅ = 1 - q₁

q ₆ = q₅

q ₇ = 1

MCV50: velocità costante modificata (v è costante per il 50% del tratto)

q ₀ = 0

q ₁ = 1 / 16

q ₂ = q ₁

q ₃ = 1 / 4

q ₄ = 1 - q₃

q ₅ = 1 - q₁

q ₆ = q₅

q ₇ = 1

Curve polinomiali

Polinomiale 2-3

y = (3  q ² - 2  q ³)

y’ = (6  q - 6  q ²)

y” = (6 - 12  q)

Polinomiale 3-4-5

y = (10  q ³ - 15  q ⁴ + 6  q ⁵)

y’ = (30  q ² - 60  q ³ + 30  q ⁴)

y” = (60  q - 180  q ² + 120  q ³)

Polinomiale 3-5

a = 0.1